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Recherche d'un lieu géométrique [Epreuve pratique du baccalauréat S]

Dans le plan (P), on donne quatre points O, A, B et C et un cercle (C1) de centre O. Le point M est un point quelconque variable sur le cercle (C1).
On lui associe l’unique point M’ du plan (P) défini par l’égalité :

MM' = aMA+bMB+cMC
où a, b et c sont des réels donnés (a = 2 , b = -1 et c = 2).

Il s’agit de déterminer, dans un cas particulier, le lieu géométrique (L) du point M’ lorsque le point M décrit le cercle (C1).

Travail demandé :
1. a) À l'aide d’un logiciel de géométrie plane construire les points O, A, B et C, le cercle (C1) et un point libre M sur ce cercle.
b) Construire le point M’ associé à M.
c) En observant plusieurs positions du point M faire une conjecture sur la nature de la transformation du plan qui transforme M en M’ ainsi que la nature du lieu géométrique du point M’.
2. a) Déterminer par le calcul la nature de la transformation du plan qui transforme le point M en le point M’.
b) Déterminer le lieu géométrique (L) du point M’.

Evacuation des eaux [Epreuve pratique du baccalauréat S]

On décide de mettre en place un système de collecte des eaux de pluie sur un mur aveugle, à l'arrière de la façade d’une maison.
Sur ce mur, de forme rectangulaire, deux tuyaux obliques doivent récupérer les eaux de pluies pour les déverser dans un tuyau vertical aboutissant à un réservoir.
On donne ci-contre la schématisation de la façade et des tuyaux. AB = 10 m et BC = 6 m.
Sur ce schéma, (MH) est la médiatrice de [DC]. Il s’agit de trouver, sur le mur de cette maison, la position du point M qui minimise la longueur totale des tuyaux.
On note Q la projection de M sur (BC) et on prend comme variable la mesure en radian de l'angle aigu BMQ = e.

Travail demandé :
1. À l’aide du logiciel Géoplan :
a) Définir le repère RM de centre D et le repère RS de centre I.
b) Construire le rectangle ABCD, puis définir la médiatrice de [DC] ainsi que le point libre M sur cette droite.
c) Définir la variable numérique s égale à la somme MA + MB + MH ainsi que la variable e égale à la valeur en radian de l’angle BMQ, puis créer l’affichage de ces deux valeurs.
(Facultatif) : Représenter dans le repère d’origine I le point S de coordonnées (e ; s).
d) À l’aide de la figure ainsi conçue, déterminer une valeur approchée de la mesure de l’angle BMQ en radian qui donne une somme s minimale, ainsi que la valeur approchée de cette somme.

Orthocentre [Epreuve pratique du baccalauréat S]

Dans le plan, ABC est un triangle d'orthocentre H. Il s'agit de déterminer le lieu (L) des points H quand C se déplace sur une certaine droite.
Dans le plan, ABC est un triangle quelconque. On note K le centre de son cercle circonscrit et H son orthocentre.
On s’intéresse au lieu (L) des points H quand C se déplace sur une droite parallèle à la droite (AB).

Travail demandé :
1. a) Faire une figure avec un logiciel de géométrie dynamique, faisant apparaître les points A et B, le point C sur une droite parallèle à la droite (AB), le triangle ABC, le point H et le point K.
b) Afficher la trace du point H quand C varie sur la parallèle à (AB).
c) Faire une conjecture concernant la nature du lieu des points H.
(E) : (relation d'Euler)
2. À partir de cette question, le plan est rapporté à un repère orthonormal , les points A1 et B1 sont donnés par leurs coordonnées : A1(-1 ; 1) et B1(1 ; 1). Le point C1 est sur l’axe des abscisses, et a pour abscisse un réel x.
Demander à nouveau le lieu (L) des points H. Quelle en serait une équation ?

Tangentes à une parabole [Epreuve pratique du baccalauréat S]

Dans le plan, on considère une parabole C et on étudie le point d'intersection des tangentes à C en deux points dont les abscisses sont liées par une relation simple.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal. On considère la parabole C d’équation y=x²/2.
Étant donné un réel t non nul, on se propose de mettre en évidence, puis de démontrer une propriété du point d’intersection des tangentes à la parabole C aux points M et M’ d’abscisses respectives t et t'=1/t.

Travail demandé :
1. a) À l’aide d’un logiciel adapté, tracer la parabole C.
On se donne un réel t. Placer le point M d’abscisse t sur la courbe C. Tracer la droite D tangente à C au point M.
Indication : Si le logiciel utilisé le nécessite, calculer d’abord le coefficient directeur de cette tangente.

b) Placer le point M’ d’abscisse t'=1/t sur la courbe C. Tracer la droite D’ tangente à C en M’.
Placer le point d’intersection P des droites D et D’.
Lorsque t varie dans R*, à quel ensemble le point P semble-t-il appartenir ?

2. Démonstration
a) Donner les équations des droites D et D’.
b) Calculer les coordonnées du point P et conclure sur la propriété conjecturée.

Remarques :
La droite (MM’) passe par un point fixe, le foyer F de la parabole.
Définition : La courbe orthoptique d'une parabole est le lieu des points d'où l'on peut mener deux tangentes à la parabole perpendiculaires entre elles, autrement dit le lieu des points d'où l'on «voit» la parabole sous un angle droit.
Pour les droites D et D’, le produit des coefficients directeurs est égal à -1 ; les deux tangentes sont perpendiculaires. Le lieu géométrique est donc la courbe orthoptique, directrice de la parabole.

Aire maximale d'un triangle [Epreuve pratique du baccalauréat S]

On considère un triangle ABC isocèle en A de périmètre fixé. Le but de cet exercice est de déterminer parmi tous les triangles isocèles possibles celui dont l’aire est maximale.
Expérimentation à l’aide d’un logiciel de géométrie :
Travail demandé :
1. A l’aide d’un logiciel de géométrie, construire un triangle ABC isocèle en A, dont le périmètre est fixé et exactement égal à 16.
Parmi tous les triangles possibles, quelle semble être la nature du triangle d’aire maximale ?

2. Démonstration :
a) On note x la longueur BC et A(x) l’aire de ABC.
Dans quel intervalle le réel x peut il prendre ses valeurs ?
b) Soit H le milieu de [BC], exprimer AH en fonction de x et en déduire que
Résoudre le problème posé.

Famille de cercles [Epreuve pratique du baccalauréat S]

Dans le plan on considère un triangle BOA rectangle en O et une droite (d) passant par O. On note A’ et B’ les projetés orthogonaux respectifs de A et de B sur (d). (c) est le cercle de diamètre [A'B']. Enfin H est le pied de la hauteur issue de O dans OAB.

Travail demandé :
1. a) Faire une figure à l’aide d’un logiciel de géométrie.
b) Quelle conjecture peut-on faire concernant les différents cercles (c) lorsque la droite (d) tourne autour de O ?
2. a) On considère la similitude directe S de centre H qui transforme A en O. Quel est l’angle de cette similitude ?
b) Justifier que l’image de O par S est B.
c) Déterminer les images par S des droites (AA’) et (d) , puis celle du point A’.
d) Démontrer la conjecture faite au 1. b).

Conjecture
Les cercles (c) passent par le point H pied de la hauteur issue de O du triangle BOA.
Dans le cercle de diamètre [OA], les angles inscrits OAH et OA’H sont égaux, de même dans le cercle de diamètre [OB], les angles inscrits OBH et OB’H sont égaux. Les triangles BOA et B’HA’ sont semblables, donc B’HA’ est un triangle rectangle en H inscrit dans le cercle de diamètre [A’B’] : (c) contient le point H.

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