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Nombre de solutions d'une équation [Epreuve pratique de mathématiques au baccalauréat S]

On donne un réel k.
On étudie, suivant les valeurs de k, le nombre de solutions de l’équation (E) : ln(x) = kx² pour x strictement positif.

Travail demandé
1. a) A l'aide d'un logiciel tableur (OpenOffice.org Calc ou Microsoft Excel) tracer les courbes des fonctions y=ln(x) et y=kx² où k est une valeur que l'on fera varier.
b) Régler le paramètre k1 à la valeur 0.5*EXP(-1), que constate-t-on ?
c) Conjecturer le nombre de solution de l'équation (E) pour k<k1 et pour k>k1.

2. Retrouver ces résultats par l'étude de la fonction f(x) = ln(x) - kx²




Simulation du lancer de 3 dés

On lance trois dés et on note la somme des numéros obtenus. On effectue 30 lancers et on calcule les fréquences des sommes : 3, 4, 5, ... , 18.

On génére ensuite plusieurs séries de 30 lancers et on représente les résultats par un graphique (données en série).










Schéma de Bernoulli et loi binomiale : Lancer de 5 dés

On lance cinq dés et on note le nombre d'apparitions du numéro 6. On effectue 30 lancers et on calcule les fréquences des nombres d'apparitions (0, 1, 2, 3, 4 ou 5) du numéro 6.

On génére ensuite plusieurs séries de 30 lancers et on représente les résultats par un graphique (données en série).







Schéma de Bernoulli et loi binomiale : Lancer de 5 pièces

On lance cinq pièces et on note le nombre d'apparitions du côté "Face". On effectue 30 lancers et on calcule les fréquences des nombres d'apparitions (0, 1, 2, 3, 4 ou 5) du côté "Face".

On génére ensuite plusieurs séries de 30 lancers et on représente les résultats par un graphique (données en série).








La planche de Galton

Principe de la planche de Galton

Galton (1822-1911) était le cousin de Darwin et voulait justifier la transmission des capacités intellectuelles par l'hérédité pour permettre l'amélioration de l'espèce humaine.
Son point de départ était le paradoxe suivant : comment expliquer qu'on observe à chaque génération une dispersion des tailles, qu'à celle des parents devra s'ajouter celle des enfants et, qu'en même temps la taille des individus d'une population et la dispersion par rapport à chaque moyenne reste constante quand les générations se succèdent ?

Pour comprendre le phénomène, Galton réalisa une expérience à l'aide d'un plan incliné sur lequel il planta des clous disposés en quinconce. En faisant tomber un grand nombre de billes, en haut du plan incliné, on observe une répartition à l'arrivée qui suit une loi binomiale.
Cette loi peut être approchée (théorème de la limite centrale) par la loi normale ou loi de Gauss.